数列 3项递推求通项

我找到一个材料，能帮到你：

用特征根法解题

一：A(n+1)=pAn+q, p,q为常数.

（1）通常设：A(n+1)-λ＝p(An-λ), 则 λ=q／(1-p).

（2）此处如果用特征根法：

特征方程为：x=px+q，其根为 x=q/（1-p）

例一：A（n+1)=2An+1 , 其中 q=2,p=1,

则λ =1/（1-2）= -1

那么A（n+1）+1=2（An+1）

………………

二：再来个有点意思的,三项之间的关系：

A(n+2)=pA(n+1)+qAn， p,q为常数

（1）通常设： A(n+2)-mA(n+1)=k[A(n+1)-mAn],

则 m+k=p, mk=-q

（2）此处如果用特征根法：

特征方程是y?=py+q（※）

注意：① m n为（※）两根。

② m n可以交换位置，但其结果或出现两种截然不同的数列形式，但同样都可以计算An，而且还会有意想不到的惊喜，嘿嘿

③ m n交换位置后可以分别构造出两组An和A(n+1)的递推公式，这个时侯你会发现，这是一个关于An和A(n+1)的二元一次方程组，那么不就可以消去A（n+1），留下An，得了，An求出来了。

例二：A1=1,A2=1,A(n+2)= 5A（n+1）-6An，

特征方程为：y?= - 5y+6

那么，m=3,n=2,或者m=2，n=3

于是，A（n+2）-3A（n+1）=2[A（n+1）-3An] (1)

A（n+2）-2A（n+1）=3[A（n+1）-2An] (2)

所以，A（n+1）-3A（n）= - 2 ^ n (3)

A（n+1）-2A（n）= - 3 ^ (n-1) (4)

消元消去A（n+1），就是An,

An=- 3 ^ (n-1) +2 ^ n.

求数列通项公式的基本方法：

累加法

递推公式为a(n+1)=an+f(n)，且f(n)可以求和

例：数列{an}，满足a1=1/2，a(n+1)=an+1/(4n^2-1)，求{an}通项公式

解：a(n+1)=an+1/(4n^2-1)=an+[1/(2n-1)-1/(2n+1)]/2

∴an=a1+(1-1/3+1/3-1/5+……+1/(2n-3)-1/(2n-1))

∴an=1/2+1/2 (1-1/(2n-1))=(4n-3)/(4n-2)

累乘法

递推公式为a(n+1)/an=f(n),且f(n)可求积

例：数列{an}满足a(n+1)=(n+2)/n an，且a1=4，求an

解：an/a1=an/a(n-1)×a(n-1)/a(n-2)×……×a2/a1=2n(n+1)

构造法

将非等差数列、等比数列，转换成相关的等差等比数列

适当的进行运算变形

例：{an}中，a1=3,a(n+1)=an^2,求an

解：ln a(n+1)=ln an^2=2ln an

∴{ln an}是等比数列，q=2，首项为ln3

∴ln an =(2^(n-1))ln3

故an=3^[2^(n-1)]

倒数变换法(适用于a(n+1)=Aan/(Ban+C),其中，A、B、C∈R)

例：{an}中，a1=1，a(n+1)=an/(2an+1)

解：1/a(n+1)=(2an+1)/an=1/an +2

∴{1/an}是等差数列，首项是1，公差是2

∴an=1/(2n-1)

待定系数法

A.递推式为a(n+1)=pan+q(p，q为常数)，可以构造递推数列{an+x}为 以p为公比的等比数列，

即a(n+1)+x=p(an+x)，其中x=q/(p-1) (或者可以把设定的式子拆开，等于原子)

例：{an}中a1=1，a(n+1)=3an+4,求an

解：a(n+1)+2=3(an+2)

∴{an+2}是等比数列 首项是3，公比是3

∴an=3^n-2

B.递推公式为a(n+1)=pan+q^n(p，q是常数)

常规变形，将两边同时除以q^(n+1),

得到a(n+1)/q^(n+1)=p/q an/q^n+1/q

再令bn=an/q^n,

可以得到b(n+1)=kbn+m(k=p/q , m=1/q)

之后就用上面A中提到的方法来解决

C.递推公式为a(n+2)=pa(n+1)+qan,(p，q是常数)

可以令a(n+2)=x^2 , a(n+1)=x , an=1

解出x1和x2，可以得到两个式子

a(n+1)-x1an=x2(an-x1a(n-1))

a(n+1)-x2an=x1(an-x2a(n-1))

然后，两式子相减，左边可以得出kan来(k为系数)

右边就用等比数列的方法得出来

例：{an}中，a1=1,a2=2,a(n+2)=2/3 a(n+1)=1/3 an

解：x^2=2x/3=1/3

x1=1,x2=-1/3

可以得到方程组

a(n+1)-an=-1/3 (an-a(n-1))

a(n+1)+1/3 an=an+1/3 a(n-1)

解得an=7/4-3/4×(-1/3)^(n-1)

D.递推式a(n+1)=pan+an+b(a，b，p是常数)

可以变形为a(n+1)+x(n+1)+y=p(an+xn+y)

然后和原式子比较，可以得出x，y，

即可以得到{an+xn+y}是个 以p为公比的等比数列

例：{an}中，a1=4， an=3a(n-1)+2n-1(n≥2)

解：原式=>an+n+1=3[a(n-1)+(n-1)+1]

∴{an+n+1}为等比数列，q=3，首项是6

∴an=2×3^n-n-1

特征根法

递推式为a(n+1)=(Aan+B)/(Can+D) (A，B，C，D是常数)

令a(n+1)=an=x,原式则为x=(Ax+B)/(Cx+D)

(1)若解得相同的实数根x0，则可以构造数列{1/(an-x0)}为等差数列

例：{an}满足a1=2，a(n+1)=(2an-1)/(4an+6),求an

解：x=(2x-1)/(4x+6)

解得x0=-1/2

1/(an+1/2)=1/[(2a(n-1)-1)/(4a(n-1)+6) +1/2]=1/[a(n-1)+1/2] +1

∴{1/(an+1/2)}是等差数列，d=1，首项是2/5

∴an=5/(5n-3) -1/2

(2)若解得两个相异实根x1,x2,则构造{(an-x1)/(an-x2)}为等比数列(x1,x2的位置没有顺序，可以调换)

例：{an}满足a1=2，a(n+1)=(an+2)/(2an+1)

解：由题可得(an-1)/(an+1)=-1/3 [a(n-1)-1]/[a(n-1)+1]

则{(an-1)/(an+1)}是等比数列，q=-1/3，首项是1/3

∴an=[1+(-1)^(n-1) (1/3)^n]/[1-(-1)^(n-1) (1/3)^n]

(3)如果没有实数根，那么这个数列可能是周期数列

例：{an}中，a1=2,满足a(n+1)=(an-1)/an(n≥2)

解：a1=2 , a2=1/2 , a3=-1 , a4=2 , a5=1/2 ……

所以an=2(n MOD 3=1)，1/2(n MOD3=1)，-1(nMOD3=0)

(准确的应该是有大括号像分段函数那样表示，但是这里无法显示)

连加相减，连乘相除

例：{an}满足a1+2a2+3a3+……+nan=n(n+1)(n+2)

解：令bn=a1+2a2+3a3+……+nan=n(n+1)(n+2)

nan=bn-b(n-1)=n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)

∴an=3(n+1)

通项公式：按一定次序排列的一列数称为数列，而将数列{a n } 的第n项用一个具体式子（含有参数n）表示出来，称作该数列的通项公式。这正如函数的解析式一样，通过代入具体的n值便可求知相应a n 项的值。而数列通项公式的求法，通常是由其递推公式经过若干变换得到。